В українській мові це слова – синоніми. Те чи інше вживається залежно від контексту речення.
Правильно
Суперечка – це процес обміну протилежними думками між декількома конкретними особами.
Навколо великих людей завжди виникають суперечки.
Бачачи, що суперечка розгоряється, він спробував заговорити про інше.
Під час диспуту часто виникають суперечки.
Спір – широке публічне обговорення якого-небудь спірного питання, дискусія. Наприклад трудові спори є способом вирішення трудових суперечок.
Трудовий спір вирішений за згодою сторін.
На цьому підприємстві часто виникають трудові спори.
Спір між двома фізиками тривав кілька десятиліть.