Словари русского языка содержат оба слова, более того, они являются полными синонимами. Однако, в современном языке более популярным является вариант написания через «о».
Правильно
Строгать — данный глагол означает процесс обработки какого-либо изделия путём снятия стружки, отделения тонких слоёв строганием. Корни слова уходят глубоко в праславянский язык. Исторически сложилось так, что написание глагола через «о» (строгать) является гораздо более популярным вариантом. Соответственно, через «о» пишутся и все производные глагола: строганный, строгающий, строгаемый и т.д.
Ваня научился строгать дерево ещё в раннем детстве.
Строгать брус оказалось довольно сложно.
Доски можно строгать несколькими способами.
Стругать — согласно толковым словарям русского языка этот глагол является полным синонимом слова «строгать». Написание через «у» статистически употребляется гораздо реже. Также используется в молодёжном сленге в значении блевать. Через «у», соответственно, пишутся и все производные глагола: струганный, стругающий, стругаемый и т.д.
У тебя не получится стругать топором, если он тупой.
Стругать хороший шпон без специального инструмента невозможно.
Тебе нужно стругать доску до достижения точных размеров.