В зависимости от падежа, оба варианта написания имени являются правильными.
Правильно
Тани — имя «Таня» в родительном и падеже единственного числа и в именительном падеже множественного числа, пишется с окончанием на букву «и».
Сегодня Тани нет дома. (родительный)
У Тани дома есть большой красивый глобус. (родительный)
Две мои знакомые Тани стали лучшими подругами. (множественное число)
Тане — имя «Таня» в дательном и предложном падежах единственного, пишется с окончанием на букву «е».
Сегодня в садике Тане дали подарок с конфетами. (дательный)
На урок литературы Тане нужно выучить стих о природе. (дательный)
Мы весь вечер говорили о Тане Тимофеевой. (предложный).