Эта пара слов представляет две глагольные формы, отличающиеся написанием глагольных суффиксов и ударением.
Правильно
Тащится – отвечает на вопрос «что делает?». Представляет собой глагол, употребленный в форме настоящего времени. Поскольку вопрос пишется без буквы «Ь», то и глагол не будет иметь мягкого знака в своем суффиксе. Ударение в этом слове падает на гласную «А», которая стоит в первом слоге – тАщится.
Он так устал, что уже еле тащится.
Видимо, что–то случилось, раз поезд тащится еле-еле.
Мы наблюдали из окна, как вдалеке тащится с груженым возом лошадь.
В темноте было видно, что что-то тащится по дороге.
Тащиться – слово пишется с мягким знаком. Является глаголом, который стоит в форме инфинитива. Отвечает на вопрос «что делать?». Наличие мягкого знака в вопросе указывает на наличие этой буквы в суффиксе глагола. ТащИться — ударение падает на втрое слог.
Погода была ужасной, и мы могли только тащиться за грузовиком, не обгоняя его.
Она предпочитала тащиться пешком в другой конец города, чем потратиться на автобус.
Я была рада, что больше не надо тащиться на вокзал.
Неправильно
Тащитца, тащитьца, тащицца.