Оба слова используются в русском языке. Они представлены двумя формами одного глагола. Вопросы и правописание у них разное.
Правильно
Умудрится – отвечает на вопрос «что сделает?». Глагол стоит в форме будущего времени. Отсутствие мягкого знака в вопросе указывает на то, что в слове он тоже не пишется.
Целеустремленный студент умудрится сдать сессию досрочно.
Имея тридцать седьмой размер обуви, она умудрится влезть в туфли меньшего размера.
Этот проворный котенок умудрится и на верхушку дерева взобраться.
Солдат и из сапога умудрится кашу сварить.
Умудриться – отвечает на вопрос «что сделать?», поскольку является инфинитивом. В вопросе пишется мягкий знак, поэтому и глагольный суффикс будет писаться с мягким знаком.
«Как можно было умудриться опоздать на поезд?» — Возмущалась мама, глядя на сына.
Это же надо умудриться в жару простудиться.
«И надо было умудриться поймать рыбу там, где она вовсе не водится», — удивлялся дед.
Сама удивляюсь тому, как можно было умудриться порвать новое платье?
Неправильно
Умудритца, умудрицца, умудритьца.