Это разные формы глагола неопределенной формы — успокоиться.
Правильно
Успокойтесь — повелительная форма глагола во множественном числе, пишется через букву «й». Написание можно проверить по словарю.
«Успокойтесь!» — крикнула соседка на детей.
Вы успокойтесь, а потом спокойно поговорим.
Или успокойтесь, или я пошла домой.
Успокоитесь — при написании слова через букву «и» в середине слова это будет глагол будущего времени, второго лица, множественного числа.
Я приду только тогда, когда вы все успокоитесь.
Завтра вы успокоитесь и придете пробовать заново.
Если вы не успокоитесь, я не буду с вами разговаривать.
Неправильно
Успакоитесь, успакойтесь.