В зависимости от контекста предложения возможно написание обоих вариантов.
Правильно
В заключение — при написании слова с окончанием на «е» имеем дело с производным предлогом. Этот предлог имеет временно́е значение и отвечает на вопрос «когда?». Пишется по аналогии с предлогами «в течение», «в продолжение» и т.д.
В заключение своего доклада хочу сказать следующее.
Он выступил со своей новой песней в заключение концерта.
И в заключение я скажу, что ваша работа была оценена по достоинству.
В заключение выступления он еще раз поздравил всех с праздником.
В заключении — при написании слова с окончанием на «и» имеем дело с сочетанием предлога «в» и существительного «заключение» в форме предложного падежа. В данном случае словосочетание отвечает на вопрос «где?». Может употребляться в контексте лишения воли (в неволе), или в значении раздела чего-либо (в конце доклада, документа, пр.).
В заключении поэт написал свои лучшие стихи.
У этого маньяка в заключении находятся люди.
В заключении дипломной работы были сделаны основные выводы.
Я не увидел ничего страшного в заключении врача.
В заключении статьи был задан риторический вопрос.
Чтобы лучше понять разницу в контексте, можно употребить оба варианта в одном предложении.
В заключение своего рассказа Владимир добавил, что находясь в заключении он переосмыслил свою жизнь.