Несмотря на общий корень этих прилагательных (корень — век), значение слов разное.
Правильно
Вечный — это прилагательное имеет несколько значений и имеет более широкий круг употребления. Означает бесконечный по времени, не перестающий существовать, постоянный, неизменный.
В каждом городе есть вечный огонь в память о погибших.
Этот вечный нытик уже всех достал.
Существование вечного двигателя невозможно с точки зрения науки.
Извечный — при употреблении слова с приставкой «из» его основное значение — существующий всегда, с давних пор, издавна. Это прилагательное нельзя заменить словом «вечный».
Извечная вражда этих народов погубила миллионы судеб.
Он ввязался в извечный спор и никак не может успокоиться.
Этот извечный вопрос не дает покоя многим философам.
Чтобы лучше понять контекст прилагательных, можно употребить их в похожих предложениях.
Вечная вражда довела их до изнеможения. — постоянная вражда, которая длится долго (можно сказать о текущей постоянной вражде).
Извечная вражда довела их до изнеможения. — вражда, которая длится многие годы с самого начала чего-либо. Подразумевается очень длительный промежуток времени (годы, столетия).