Обидва слова є в українській мові, хоча вони мають різне значення.
Правильно
Включити – вживаємо тоді, коли говоримо про машини або інші механізми. Також вживається в значенні «приєднувати до чогось, вводити в склад».
Не забудь включити третю швидкість.
Ми вирішили включити в команду ще одну дівчину.
Увімкнути – вживаємо тоді, коли говоримо про радіо, електричний струм, телефон.
Не забудь ввечері увімкнути світло біля під їзду.
Увімкни телевізор – скоро розпочнеться фільм.
Неправильно
Увімкнути в команду, включити електрику.