Эти слова достаточно широко используются в современном русском языке. Они являются двумя разными формами одного глагола. Разница заключается в написании слов и проверочных вопросах.
Правильно
Выслужится – отвечает на вопрос «что сделает?». Глагол стоит в форме третьего лица, в будущем времени. Пишется слово без мягкого знака потому, что в вопросе, на который отвечает это слово, мягкий знак не пишется.
Такой человек, как Виктор, обязательно выслужится перед начальством.
Такой хитрый и напористый тип пройдет по человеческим головам, но выслужится.
Андрей выслужится, потому как очень хочется чин повыше получить.
Такой популярный футболист выслужится в новой команде.
Выслужиться – неопределенная форма глагола, поэтому к слову можно поставить вопрос «что сделать?». Глагольный суффикс будет писаться с мягким знаком, поскольку мягкий знак пишется в вопросе.
Сыщик хорошо понимал, что для повышения в звании необходимо не только засветиться перед начальством, но еще и выслужиться.
Капитан все думал, чем бы ещё можно было выслужиться.
Речь ведь идет не о том, чтобы выслужиться, а чтобы все сделать как надо.
Не всякий человек захочет выслужиться перед начальством.
Неправильно
Выслужитца, выслужицца, выслужитьца, выслужется, выслужеться.