Правильно
Зачинщик — единственно правильное написание существительного, пишется без мягкого знака. Слово образовано с помощью суффикса «-щик», который при добавлении к основе слова образует существительное со значением «тот, кто связан профессией, орудием, действием, пр.» (каменщик, скупщик, атомщик, поставщик, спорщик, зачинщик и др.). Мягкий знак после основы слова «зачин» не пишется, поскольку смягчать «н» нет необходимости.
Зачинщик драки был выставлен за двери.
Вот этот зачинщик виноват в таком исходе событий.
А сейчас слово скажет зачинщик всего этого веселья.
Зачищик этой авантюры сидел и отмалчивался.
Неправильно
Зачинчик, зачиньщик.