Правильно
Заиграться – в суффиксе этого глагола, употребленного в своей начальной форме, обязательно должен быть «Ь». Убедиться в этом поможет проверочный вопрос «что сделать?», который следует поставить к слову. Правило простое: если вопрос пишется с «Ь», то и глагол также будет иметь эту букву в суффиксе.
Павлик мог заиграться на улице с мальчишками и забыть о домашнем задании на завтра.
Он успел уже заиграться настолько, что ничего, кроме азартных игр, его не интересует.
Родители подумали, что дети могли заиграться у соседей.
После окончания трудовой недели она могла себе позволить заиграться за компьютером.
Неправильно
Заигратся, заигратьца.