Правильно
Запинаться – данный глагол, употребленный в начальной форме, пишется с мягким знаком в суффиксе. Вопрос «что делать?», пишущийся с «Ь», прямо указывает на это.
Ирина начинает запинаться, как только начинает нервничать.
Раз начал запинаться – значит, домашнее задание плохо выучил.
Он продолжал краснеть, бледнеть и запинаться от волнения.
Почему он не мог не запинаться во время разговора, оставалось для нас загадкой.
Неправильно
Запинатся, запинатьца.