Застудится или застудиться как правильно?

И первый, и второй вариант написания глаголов является правильным, поскольку данные слова представляют собой разные формы одного глагола. Проверить правописание можно постановкой вопросов. Кроме того, данные глаголы отличаются ударением, которое падает на разные слоги.

Правильно

Застудится – глагол, стоящий в форме будущего времени. Поэтому, вопрос на который он будет отвечать, — «Что сделает?». Поскольку вопрос не имеет в себе мягкого знака, то и глагольный суффикс будет писаться без него. Ударение падает на второй слог, гласную «У» — застУдится.
Сергей застудится, если оденется не по погоде.
Если она застудится перед праздниками, то пропустит все утренники.
Андрюшка застудится, если съест зимой мороженое.
Она застудится, если будет ходить весь день в мокрой обуви.

Застудиться – является неопределенной формой глагола, поэтому будет отвечать на вопрос «Что сделать?». Вопрос имеет мягкий знак, поэтому в глаголе перед –СЯ эту букву также необходимо написать. ЗастудИться – ударение приходится на гласную «И» в третьем слоге.
Ребенок может застудиться, если будет бегать в мороз без шапки.
Если он промочит ноги, то может застудиться.
Он занимается моржеванием уже много лет, поэтому застудиться ему не грозит.
Он впал в депрессию и мечтал лишь застудиться и умереть.

Неправильно

Застудитца, застудитьца, застудется, застудеться.