Затем или за тем как правильно?

В зависимости от того, какую часть речи автор употребляет в предложении и какую смысловую нагрузку несет слово, могут встречаться оба варианта написания.

Правильно

Затем – обстоятельственное наречие времени. Означает «потом», «после того как». Словарное наречие, которое всегда пишется слитно. Написание регламентируется орфографическим словарем.
Затем мы поехали на каток и катались так до его закрытия.
Он решил сперва выпить кофе, а затем начать решать насущные проблемы.
Сначала она развезла всех детей по различным кружкам, а затем поехала улаживать свои дела.
Сначала нужно повесить гирлянду, затем игрушки и мишуру.

За тем – это сочетание предлога с указательным местоимением. Если местоимение можно заменить существительным, прилагательным или числительным порядковым – то словосочетание пишется раздельно.
За тем, что происходило на фабрике, наблюдала команда разработчиков.
Вчера я пришла к подруге Ольге за тем, что лишь она могла мне дать – дельный совет и поддержку.
За тем станком стоял мой наставник и внимательно следил за моей работой.
За тем мужчиной я заняла очередь к врачу и быстро побежала до ближайшего магазина.