В современном русском языке существуют оба слова, но их употребление зависит от контекста предложения.
Правильно
Зовут — слово в такой форме используется в случаях, когда речь идет непосредственно о имени человека или в качестве синонима словам: подзывать, кликать, кричать, приглашать.
Как Вас зовут? — Меня зовут Юрий Иванович
Эту девочку зовут Вероника
Игоря зовут домой родители
Его зовут на воскресный ужин
Звать — это слово используется, когда речь идет о просьбе кого-либо откликнуться.
Когда Вас звать (позвать)? — Не нужно меня звать по пустякам!
В гости его звать не обязательно
К чему снится звать покойника?
Как тебя звать? — Зови меня очень громко!
Неправильно
Завут
Как тебя звать? — Меня звать Елена. — такое построение предложения является неправильным, просторечным.