Прошедшим или прошедшем как правильно?

Оба слова являются правильными, но применение того или иного зависит от контекста предложения.

Правильно

Для определения того, какая форма должна использоваться в конкретном предложении, сперва нужно определить категорию слова. Если слово является прилагательным, необходимо поставить вопрос: о каком, в каком, или каким.
О каком? — О прошедшЕм
В каком? — В прошедшЕм
Каким? — ПрошедшИм

Прошедшем
О каком дне идет речь? — Я рассказывал о прошедшем дне
В каком году ты поступил — Я поступил в прошедшем году
В прошедшем году предприятие получило прибыль

Прошедшим
Каким днем ты доволен? — Я доволен прошедшим днем
Мы гордимся прошедшим годом (каким?)
Все довольны прошедшим днем (каким?)

Я доволен прошедшим днем рождения (каким?) — На прошедшем дне рождения было весело (на каком?)
Поздравляю тебя с прошедшим днем рождения (с каким?) — Ты был на прошедшем дне рождения? (на каком?)

Также обе формы слова могут быть образованы от существительного «прошедшее» в зависимости от числа и падежа.

Прошедшим (прошедшими) я доволен — Подразумеваем «я доволен прошедшим мимо меня человеком» (кем, чем?)
Уступили дорогу прошедшим — Подразумеваем «мы уступили дорогу прошедшим людям» (кому, чему?)
О прошедшем много говорят — Подразумеваем «люди много говорят о прошедшем мимо человеке» (о ком, о чем?)