Наталье, Натальи или Наталии как правильно?

Написание имени в разных падежах зависит, в первую очередь, от самого имени.

Правильно

Имя Наталья (с мягким знаком)

Натальи — с окончанием на «и» имя «Наталья» пишется только в форме родительного падежа. В предложении, соответственно, отвечает на вопрос «кого?».
Сегодня Натальи Ивановны на работе не будет.
Натальи не будет еще пару дней.
В нашем кабинете никакой Натальи нет.

Наталье — с окончанием на «е» имя пишется в форме дательного или предложного падежей. В предложении отвечает на вопрос «кому? или «о ком?» соответственно.
Мы решили этот подарок вручить Наталье.
Наталье Ивановне на День рождения!
О Наталье вчера мы даже не вспоминали.

Имя Наталия

Наталии — если имя в именительном падеже пишется через как «Наталия», то в большинстве других падежей оно имеет окончание «ии».
Наталии Петровны сегодня уже нет.
Давайте Наталии подарим хорошие духи.
На Наталии Борисовне лежит больная ответственность.