Правильно
Достигнешь – единственно правильный вариант написания глагола во втором лице единственного числа будущего времени. Относится к первому спряжению, так как в третьем лице множественного числа имеет окончание «- ут» (достигнут). У глаголов первого спряжения в безударных личных окончаниях пишется гласная – е.
Будешь много трудиться – достигнешь успеха.
Если будешь настойчивым, то достигнешь своей цели.
Ты достигнешь деревни до темноты, если будешь идти быстро.
Плыви быстрее, тогда достигнешь берега первым.
Неправильно
Достигнишь, достигнеш.