Правильно
Дышит — правильное написание лексемы зависит от типа спряжения глагола. По признакам глагол должен относиться к первому типу спряжения (инфинитив «дышать» оканчивается на «ать»), однако этот глагол является исключением и его относят ко второму типу спряжения. Соответственно, в безударных личных окончаниях глаголы второго спряжения пишутся через «и» — дышит, дышишь, дышите, дышат.
Посмотри как мило дышит этот котёнок.
Проверь дышит ли он и есть ли пульс.
Он уже на ладан дышит, а ещё пытается командовать.
Поспеши, он дышит нам в спину.
Неправильно
Дышет.