Корячится или корячиться как правильно?

Оба слова написаны без ошибок. Главное, выбирая нужное, не ошибиться с написанием.

Правильно

Корячится – эта глагольная форма пишется без «Ь». Проверяется написание при помощи вопроса к глаголу. Поскольку этот глагол стоит в форме настоящего времени, то вопрос будет звучать как «что делает?». В вопросе нет буквы «Ь», следовательно, и в глаголе такой буквы быть не должно.
А он все еще на допотопном турнике корячится.
Он все в своей любимой лаборатории корячится.
Да он уже который вечер корячится под своей «Волгой».
Петька еще корячится около своих железок?

Корячиться — инфинитив, требующий к себе вопроса «что делать?». В данном случае вопрос имеет мягкий знак, поэтому эту букву следует писать и в суффиксе глагола.
Долго я еще тут сама корячиться буду?
Корячиться с таким усердием над древностями мог только наш профессор.
Производство стоит, поэтому корячиться, чтоб заработать, приходится то там, то тут.
Ты предлагаешь тут всю ночь корячиться?

Неправильно

Корячитца, корячитьца, корячицца, карячитца, карячитьца.