На основании их, в отношении их, без их или них как правильно?

В русском языке нет четких правил разграничения употребления разных форм местоимения.

Правильно

(На, без, в) Их — в большинстве случаев это местоимение употребляется без буквы «н». Является формой родительного, винительного или предложного падежа от местоимения они.
На их основании мы приняли окончательное решение.
Без их мнения мы как-то обойдёмся.
Мы отправили проверку в их основной офис.

(Без, в, для, до, и др.) Них — буква»н» добавляется, если это местоимение стоит после предлогов: без, в, для, до, за, из, к, на, над, о, от, по, под и др.), а также после многих наречных предлогов (возле, вокруг, впереди, мимо и др.). Часто наличие или отсутствие буквы «н» меняет смысл предложения. Во многих случаях употребление предлога с «н» или без — факультативно.
Специально под них мы выделили целый офис.
Мы пойдём дальше без них, они очень медленные.
У них нет ничего, что я хотел бы купить.