В этом простом сочетании слов может быть целых 3 разных значения.
Правильно
Надо мной (мною) — если смысл выражения подразумевает вопрос «над чем?», значит мы имеем дело с сочетанием предлога «над» и местоимения «мной». Поскольку местоимение начинается с сочетания гласных «мн», то по правилам к предлогу добавляется гласная «о» — надо. Похожие сочетания — во сне, во рту, ко мне, надо мной. Вариант «надо мною» отличается только стилистическим оттенком.
Надо мной летает целая стая птиц.
Мне кажется, что надо мной сгустились тучи.
Надо мной бескрайнее синее небо и яркое солнце.
Надо мной (не надо мной) — такое же написание сохраняется в том случае, когда контекст подразумевает значение «нужно мной…». В этом случае слово «надо» выступает предикативным наречием. Нужно или надо как правильно?
Чтобы я лучше работал, надо мной руководить.
Не надо мной помыкать, я этого не люблю.
Вам надо мной гордиться, а не ругать!
Надомной — слитное написание встречается в том случае, когда слово является прилагательным (форма женского рода в родительном, дательном, творительном и предложном падежах). Соответственно, в предложении отвечает на вопрос «какой?» (напр. надОмной работы — какой работы?). Данное слово постепенно заменяется другим прилагательным — удалённой.
Надомной работы благодаря интернету становится больше.
Я ищу вакансии надобной работы.
Эту работу можно отнести к надомной.
Неправильно
На домной, на до мной.