Ніщо чи ні що як правильно?

Правильно

Ніщо — по-перше: існує правило — заперечні займенники з (ні) пишуться разом, по-друге: при морфологічному розборі слова бачимо — заперечний займенник утворено від питального (що?) за допомогою префікса (ні). Префікс – це частина слова, тобто пишеться із словом разом. Наприклад: ніхто, ніким, нікого, нікому.
Ніщо не завадить мені відсвяткувати мій день народження.
З роками ніщо вже не бентежило старого гуляку.
Ніщо не тішить батьків окрім досягнення своїх дорослих дітей.

Ні що — все ж таки існують іноді випадки написання даних слів окремо. Це трапляється тоді, коли частка «ні» вживається в якості повторюваного єднального сполучника із запереченням, або друге слово виступає в якості іменника.
Після отриманого стресу я не знала ні що робити, ні як куда звертатись.
Як тільки вранці ситуація заспокоїлася, я почала міркувати ні що мене злякало, а хто.