Обогатится или обогатиться как правильно?

И первый вариант написания, и второй являются правильными, но каждый в своем случае. Проверить правильность написания легко: следует поставить вопрос к глаголу.

Правильно

Обогатится – (что сделает?) — будущее время, третье лицо. Пишется глагол без мягкого знака по той причине, что его нет в вопросе.
Бурундуков легко обогатится, поскольку своим нутром ощущает передвижение денег.
Почва обогатится, если в неё внести удобрение.
После окончания этого курса он обогатится новыми знаниями.
Городская библиотека вскоре обогатится новыми книгами.

Обогатиться – (что сделать?) — инфинитив. Мягкий знак пишется в слове, потому что он есть в вопросе.
Обогатиться – это стать более богатым.
Очень скоро государственная казна сможет обогатиться за счет новых налогов.
Многие сейчас хотят обогатиться.
Старуха всю свою жизнь мечтала обогатиться.

Неправильно

Обогатитца, обогатитьца, обагатится, обагатиться.