Правильно написаны оба слова, различия в лексическом значении слов.
Правильно
Обосновать — глагол совершенного вида первого спряжения в инфинитиве, отвечает на вопрос (что сделать?). Употребляется в речи и на письме, если автору требуется привести убедительные доводы, различные аргументы в пользу доказательств действий, теорий, предположений. Например: обосновать теорему, обосновать выводы.
Руководителю пришлось обосновать назначение сотрудника.
Обосновать свое отсутствие на работе Иван не смог.
Обосновать доводы в пользу своей теории профессор мог за десять минут.
Основать — глагол имеющий аналогичные морфологические признаки с предыдущим, но в речи употребляется в ином значении. Основать – значит дать чему-либо начало, заложить основу, фундамент. Например: основать университет, основать город.
Основать журнал о научно-технических разработках было делом чести.
Все, что смог основать Петр I имело смысл для молодой империи.
Основать свой бизнес — непростое дело в любые времена.