Значение существительных разное и только в некоторых значениях они могут выступать синонимами.
Правильно
Основание — многозначный термин основные значения которого: процесс основания (учреждения) чего-либо; опорная, центральная часть чего-либо; объяснение для какого-либо действия; геометрический термин; основы какой-либо системы знаний.
Основание Киева упоминается в летописях.
Для этого решения было довольно веское основание.
Данная сторона принята за основание треугольника.
Основание у этого здания прошло все необходимые испытания.
Обоснование — убедительные доказательства, доводы в пользу чего-либо. Контекст данного существительного предполагает массив определённой информации, который служит доводом в пользу чего-либо.
Обоснование проекта включает расчёт необходимых инвестиций.
Поставщик прислал обоснование увеличения закупочных цен.
Обоснование главного инженера стало отправной точкой всего проекта.