Правильно
Предшественник — правильное написание существительного, которое зафиксировано в словарях русского языка. Образовано от слова «шествовать» с помощью приставки «пред-«. Для проверки написания можно использовать слова: шествовать, шествие.
Мой предшественник всю работу делал вручную.
После предшественника проводить программу невозможно.
Эта зерновая культура может быть предшественником многих других.
Его предшественник провел более трехсот заездов.
Неправильно
Предшевственник, предшественик, предшевственик.