Сегодня эти оба слова широко используются в современном русском языке. Это две формы одного глагола. Разница у них в правописании и вопросах.
Правильно
Убедится – это форма будущего времени и отвечает на вопрос «что сделает?». Пишется слово без мягкого знака, так как его нет в вопросе.
Начальник сам убедится в справедливости слов своего подчиненного.
Юрий убедится в своей правоте, а уж потом уедет.
Дарья вначале убедится в том, что её работа дошла до заказчицы, и только тогда возьмётся за другую.
Со временем он убедится в правильности своих решений.
Убедиться – инфинитив, отвечающий на вопрос «что сделать?». Пишется слово с мягким знаком потому, что вопрос, поставленный к инфинитиву, заканчивается на мягкий знак.
Следователю нужно было убедиться в правильности показаний свидетеля.
Учитель желает убедиться в твёрдости знаний ученика.
Профессор должен был убедиться в положительном исходе операции.
Хозяйка вернулась на кухню еще раз, чтобы убедиться закрыт ли газовый кран на стояке.
Неправильно
Убедица, убедитца.