И первый, и второй вариант можно встретить в русском языке. Каждый из них имеет право на существование.
Правильно
Усилится – данный глагол, стоящий в форме будущего времени, отвечает на вопрос «что сделает?» и пишется без мягкого знака в глагольном суффиксе, потому что в вопросе этой буквы («Ь») нет.
После полудня ветер усилится, и сыграть в бадминтон мы уже не сможем.
Если дождь усилится, то мы промокнем до нитки.
Если вы потрете запястье, то запах духов усилится, но в скором времени ослабнет.
Если боль усилится – выпейте таблетку обезболивающего препарата.
Усилиться – отвечает на вопрос «что сделать?», поскольку является неопределенной формой глагола. Слово следует писать с мягким знаком. На это указывает наличие данной буквы в проверочном вопросе.
Боль может усилиться, если ты не ляжешь в постель.
Дождь может и усилиться, вон ведь какие черные тучи затягивают небо.
Моя жажда знаний может усилиться только в случае хорошего стимула.
Стремление быть первым должно усилиться, если ты возьмешь первое место в олимпиаде.
Неправильно
Усилитца, усилитьца, усилицца.