Усталый или уставший как правильно?

Значение этих слов практически одинаковое несмотря на то, что относятся они к разным частям речи.

Правильно

Усталый — качественное прилагательное, которое дает характеристику кому-либо, кто испытывает слабость, упадок сил в результате движения, совершения усилий, работы. Чаще употребляется по отношению к человеку, который постоянно находится в таком состоянии, без привязки ко времени.
Усталый, но счастливый, Иван шел на вокзал.
Его усталые глаза выдавали всё, что он хотел скрыть.
У тебя очень усталый вид.
Мимо нашего дома шли усталые солдаты.

Уставший — причастие от глагола «устать», означает кого-либо, почувствовавшего истощение сил, утомление. Это слово обычно употребляется в контексте временной усталости, которая наступила сразу после совершенных усилий.
Уставшая от серых будней, Настя решила взять отпуск.
Дмитрий, уставший от работы, пришел без особого настроения.
Уставшие руки Жени не могли держать даже маленькое ведро.
Туристы, уставшие от поездки, сидели в тени дерева.

В то же время, в русском языке четкого разделения употребления этих слов нет. Контекст значения можно понять употребив слова в похожих предложениях:

Бабушка гладила кота уставшими руками — руки бабушки устали после какой-либо работы, которую она выполняла накануне.
Бабушка гладила кота усталыми руками — руки бабушки выглядят устало в силу многолетней тяжелой физической работы.