Правильно
За грибами — стилистически нейтральный вариант, который рекомендуется употреблять в любом стиле речи. Это сочетание зафиксировано в словарях русского языка (за грибами, за ягодами, за чем-либо…).
Завтра мы пойдем в лес за грибами.
Матушка пошла в лес за грибами.
Дед пошел за грибами и его нет уже 4 часа.
По грибы — в современной речи такое сочетание использовать не рекомендуется, поскольку оно является исключительно разговорным. Присуще для носителей диалектного языка.
Бабка пошла в лес по грибы, а вернулась с пустой корзиной.
По грибы нужно ходить вместе, чтобы не потеряться.
Когда ты уже пойдешь в лес по грибы?