Оба слова являются правильными. Каждое из них является формой одного глагола. Отличаются слова написанием, которое проверяется постановкой вопросов к глаголам.
Правильно
Заботится – глагол употреблен в настоящем времени, а это значит, что к нему можно поставить вопрос «что делает?». Правило гласит, что если в вопросе мягкого знака нет, то и перед –СЯ его писать не надо. Соответственно, данный глагол так же будет писаться без «Ь».
Хорошо, когда о тебе кто-то заботится.
Мама всегда заботится о детях, даже когда они становятся уже взрослыми.
Он заботится о ней так, будто она его ребенок.
Дениска заботится о собачке Чапе.
Заботиться – глагол стоит в неопределенной форме, поэтому будет отвечать на вопрос «что делать?». Следуя правилу, в глаголе необходимо написать перед –СЯ мягкий знак, поскольку тот есть и в вопросе.
Малыш должен заботиться о ком-то, тогда он вырастет заботливым и ответственным человеком.
Заботиться надо так, чтобы забота не душила в своих объятьях.
Он уже взрослый, а мама все продолжает заботиться о нем, как о маленьком.
Ребенок должен начинать о ком-то заботиться с самого раннего детства.
Неправильно
Заботитца, заботитьца, заботицца.