Правильно
Не начавшись — написание данного выражения подчиняется правилу написания «не» с деепричастиями. Слово «начавшись» является деепричастием от глагола «начаться». Согласно правилам русского языка деепричастия с «не» всегда пишутся раздельно (за исключением деепричастий со сложной приставкой не-до-).
Путч провалился, так и не начавшись.
На этом сюжет оперы заканчивается, практически не начавшись.
После этого его карьера оборвется, так и не начавшись.
Первая атака отбита, не начавшись, — сорвана ударом артиллеристов.
Неправильно
Неначавшись.