Слова представляют собой две формы одного глагола и различаются вопросами и правописанием.
Правильно
Отважится – глагол будущего времени. Проверить правописание глагола можно, поставив к нему вопрос «что сделает?». Поскольку мягкий знак в вопросе не пишется, то он не будет писаться и в слове.
Мальчишка, наконец, отважится и обязательно прыгнет с вышки.
Только смелый человек отважится совершить героический поступок.
Виктор отважится и сделает предложение руки и сердца своей любимой.
Он отважится посмотреть в ее сторону и будет удивлен ее реакцией.
Только смелый отважится пойти с голыми руками на крокодила.
Отважиться – отвечает на вопрос «что сделать?», потому что является неопределенной формой глагола. Мягкий знак будет писаться в глагольном суффиксе, потому что эта буква есть в вопросе.
Нужно только отважиться, и ты сможешь зайти в холодную воду.
Денис никак не мог отважиться зайти в катакомбы, которые так давно влекли его к себе.
Нелегко стеснительному человеку отважиться на выступление перед аудиторией.
Отважиться совершить поджег вражеского штаба мог только очень смелый человек.
Неправильно
Отважитца, отважицца, отважитьца.