Последнем или последним как правильно?

Написание прилагательного зависит от того, в каком падеже оно употребляется в предложении.

Правильно

Последнем — написание слова через букву «е» в окончании говорит о том, что оно употреблено в предложном падеже (мужского и среднего рода) и в предложении отвечает на вопросы о ком? о чём? в чём? на чём?, на ком? при ком? при чём?.
На последнем заседании был небезынтересный материал по новому клиенту.
Что мы можем сказать о последнем инциденте?
Мы очень здорово повеселились на последнем корпоративе.

Последним — написание слова через букву «и» в окончании свидетельствует о том, что оно употреблено в творительном падеже (мужского и среднего рода) единственного числа (отвечает на вопросы кем? чем?), или в дательном падеже множественного числа (кому? чему?).
Над последним проектом мы работали полгода.
Под последним его творением стоит загадочная подпись.
Последним прошедшим в колонне мы крикнули «Ура!»