В последующем или с последующим как правильно?

В русском языке активно употребляются два выражения: «с последующим» и «в последующем».

Правильно

В последующем — данное выражение может употреблятся как простое сочетание предлога «в» и прилагательного «последующий», так и как наречное выражение. В обоих случаях оно пишется раздельно. Предлог «в» (в чём?) требует к себе предложный падёж (окончание «ий»).
В последующем периоде планируется объединить эти направления.
Все наши предложения мы пришлём в последующем письме.
Даша пообещала, что в последующем она будет более внимательной.
В последующем мы обязуемся присылать отчёт еженедельно.

С последующим — прилагательное «последующий» с окончанием «им» пишется только в форме творительного падежа мужского или среднего рода. Предлог «с», который в предложении подразумевает вопрос «с чем?», как раз и требует после себя форму творительного падежа.
Договор подразумевает аренду дома с последующим выкупом.
Поставка товара с последующим возвратом.
Мы проводим диагностику поломки с последующим ремонтом.
Демонтаж с последующим монтажом нового оборудования.

Неправильно

Впоследующем, с последующем, споследующим.