Правильно
Посредством — словари русского языка отмечают это слово как неизменяемый предлог. Употребляется с существительными в родительном падеже, по значению является синонимом устойчивому сочетанию «с помощью«. Всегда пишется слитно. Образован от слова «посредник» (посредничать, посредничество).
Правительство посредством ряда мер простимулировало экспорт.
Это была схема, посредством которой обманули немало людей.
Защита обеспечивается посредством двухфакторной аутентификации
По средствам — данное выражение является устойчивым сочетанием, которое состоит из предлога «по» и существительного «средства» в форме дательного падежа. Пишется всегда раздельно, означает «согласно доходам, достатку”.
Он привык жить не по средствам, а теперь ему тяжело.
Такие траты нам вполне по средствам.
Конечно, это вам не по средствам, но что делать?
По средствам — также подобное выражение может быть простым сочетанием предлога «по» и существительного «средства» в значении «орудие, необходимое для достижения, осуществления чего-либо«.
Нами объявлен набор специалистов по средствам связи.
Они решили передать по средствам массовой информации объявление о награде.
Этот человек ответственный по средствам коммуникации.
Неправильно
Посредствам.