Синим или синем как правильно?

Написание окончания в этом прилагательном полностью зависит от падежа, в котором оно употребляется в предложении.

Правильно

Синим — с окончанием на «им» слово пишется в форме творительного падежа единственного числа мужского и среднего рода, а также в форме дательного падежа множественного числа.
В итоге я не очень доволен синим цветом интерьера.
Синим полем, на котором росли дикорастущие цветы, мы не могли налюбоваться.
К синим шторам нужно подобрать сочетающийся тюль.

Синем — окончание «ем» прилагательное будет иметь в форме предложного падежа единственного числа мужского и среднего рода. Предложному падежу соответствуют предлоги при, о, об, на, в, во.
На синем покрывале лежала яркая красная подушка.
Кто это к нам заехал на синем двухместном автомобиле?
При синем свете фото получается гораздо лучше.