По-молодому или по молодому как правильно?

Написание слова зависит от его значения в предложении.

Правильно

По-молодому — через дефис данное слово пишется только в том случае, когда в предложении оно отвечает на вопрос «как?», и, соответственно, выступает наречием. Наречия с приставкой по-, которые образованы от полных прилагательных и местоимений оканчивающихся на -ому, -ему, -и (-ки, -ьи), пишутся через дефис: по-молодому, по-новому, по-другому, по-твоему, по-прежнему.
Из машины, по-молодому, выскочил Морозов.
Из подъезда доносились твердые, по-молодому энергичные шаги.
Впервые за много лет его глаза по-молодому заблестели.

По молодому — если слово в предложении отвечает на вопрос «по какому?», тогда мы имеем дело с простым сочетанием предлога «по» и прилагательного «молодой» в форме дательного падежа мужского и среднего рода.
Игорю показалось, что по молодому лицу эмигранта скользнула тень усмешки.
Целительница провела рукой по молодому деревцу.
По молодому снегу заскрипели шаги Снегурочки.

Неправильно

Помолодому.